這篇文章原刊登于《量子雜志》（Quanta Magazine），分析了機器學(xué)習(xí)在大數(shù)據(jù)中的一些數(shù)學(xué)原理和問題，作者Ingrid Daubechies是杜克大學(xué)數(shù)學(xué)、電子和計算機工程系的教授?！读孔与s志》是由西蒙斯基金會獨立編輯出版的一本雜志，旨在向公眾介紹數(shù)學(xué)、物理和生命科學(xué)方面的最新進(jìn)展。

幾年前的一次晚餐上，杰出的微分幾何學(xué)家 Eugenio Calabi 主動半開玩笑地和我聊起了純粹數(shù)學(xué)家和應(yīng)用數(shù)學(xué)家的區(qū)別。研究遇到難題時，純粹數(shù)學(xué)家經(jīng)常進(jìn)一步窄化難題，避免障礙；但應(yīng)用數(shù)學(xué)家會把卡殼視為信號——是時候?qū)W習(xí)更多數(shù)學(xué)知識，找出更好的解決辦法了。

我一直覺得這個觀點很贊；它解釋了為什么應(yīng)用數(shù)學(xué)家總是需要更為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域研究出來的新概念和新結(jié)構(gòu)。這在今天人們努力理解「大數(shù)據(jù)」（非常龐大和復(fù)雜，難以用傳統(tǒng)數(shù)據(jù)處理技術(shù)進(jìn)行理解的數(shù)據(jù)組）的過程中，顯得尤為明顯。

目前，從最理想的角度來說，我們對大數(shù)據(jù)變革中的中心技術(shù)的數(shù)學(xué)理解還不夠。舉個最簡單的例子——監(jiān)督式學(xué)習(xí)。巨頭們已經(jīng)將這項技術(shù)用于語音和圖像識別，準(zhǔn)確性趨近人類水平。起初，系統(tǒng)需要海量訓(xùn)練樣本（數(shù)百萬甚至數(shù)十億的圖片或者語音錄音）用來訓(xùn)練深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)，識別統(tǒng)計上的規(guī)律性。和機器學(xué)習(xí)其他領(lǐng)域一樣，計算機有望通過吸收足夠多數(shù)據(jù)來「學(xué)習(xí)」需要完成的任務(wù)。我們無需對決策所需細(xì)節(jié)步驟進(jìn)行編程，計算機就能跟隨算法的腳步，算法會逐漸引導(dǎo)它們關(guān)注相關(guān)模式。

用數(shù)學(xué)術(shù)語說，這些監(jiān)督學(xué)習(xí)系統(tǒng)被給予了大量彼此對應(yīng)的輸入與輸出數(shù)據(jù)；計算機的目標(biāo)就是學(xué)習(xí)能可靠地將新輸入轉(zhuǎn)化為正確輸出的函數(shù)。為此，計算機必須將這個神秘函數(shù)分解為許多層叫做sigmoid函數(shù)的未知函數(shù)。這些S形函數(shù)就像是馬路牙子的輪廓線：它將一個層級光滑過渡到另一個層級，但是起始于哪一層、層間距離、轉(zhuǎn)換區(qū)域的寬度都無法提前預(yù)知。

輸入數(shù)據(jù)進(jìn)入sigmoid函數(shù)的第一層后，會生成一些結(jié)果，這些結(jié)果在進(jìn)入第二層sigmoid函數(shù)前可以組合起來，以此類推。這張正在生成函數(shù)的網(wǎng)就是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)里的「網(wǎng)絡(luò)」?！干疃取咕W(wǎng)絡(luò)就是有許多層這樣的網(wǎng)。

幾十年前，研究人員證明，這些網(wǎng)絡(luò)具有普適性，也就是說它們能夠生成所有可能的函數(shù)。后來，其他研究人員證明，網(wǎng)絡(luò)與它所產(chǎn)生的函數(shù)之間存在一些獨特的對應(yīng)關(guān)系，取得了一些理論成果。但是，這些成果都事先假設(shè)層級數(shù)量以及每層中的函數(shù)節(jié)點數(shù)量都極其龐大。但是，實踐中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)都是2層到20多層之間。由于這一局限性，沒有一個經(jīng)典結(jié)論能夠解釋為什么神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和深度學(xué)習(xí)能夠做得這么好，這么引人注目。

許多應(yīng)用數(shù)學(xué)家的指導(dǎo)原則是：如果某些數(shù)學(xué)方法運行良好，那么，肯定可以用數(shù)學(xué)來解釋它，我們也應(yīng)該能夠理解其中原因?？墒?，在這個特殊例子中，我們甚至沒有合適的數(shù)學(xué)框架可供理解。（或者，如果有，也還在純粹數(shù)學(xué)領(lǐng)域，尚未傳播到其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域。）

機器學(xué)習(xí)使用的另一個技術(shù)是無監(jiān)督學(xué)習(xí)，它用來找出大數(shù)據(jù)組背后的隱秘關(guān)聯(lián)。比如，你是位研究人員，想要更多了解人類個性類型。你獲得了大筆資金支持，可以找20萬人做調(diào)查，每張人格調(diào)查問卷有500個問題，每道題的備選答案有10個。最終，你的數(shù)據(jù)規(guī)模是：500個虛擬「維度」，每個維度上有20萬個數(shù)據(jù)點——每個維度代表原始問卷表里的一道人格測試題。這些點組合起來，在500維空間中構(gòu)成了一個維度較低的「曲面」，就好比簡單記錄山脈區(qū)域某些點的海拔高度，就能用這些點在三維空間內(nèi)構(gòu)建出一個二維曲面一樣。

作為研究人員，你要做的就是識別出這個維度較低的曲面，從而減少20萬個被試者的人格畫像，只留下本質(zhì)特征——就像找出足以確定山脈表面任意一點的兩個變量。或許，個性測試的這個曲面也能用簡單的函數(shù)來表示，它所涉及的變量數(shù)大大小于500個。這種函數(shù)就有可能反映出數(shù)據(jù)背后的結(jié)構(gòu)。

大約在過去15年里，研究人員已經(jīng)發(fā)明了用來探索這些隱藏結(jié)構(gòu)的幾何模式的工具。比如，要建一個關(guān)于曲面的模型，首先需要拉近鏡頭，近距離觀察許多不同的點。你可以在每一點上滴上虛擬的墨水，觀察它們?nèi)绾螖U散。墨水會根據(jù)曲面在每個點的彎曲程度，向某些方向擴散，而不向其他方向擴散。如果把所有這些墨水點連接起來，你就會對曲面有個整體了解。此時，你手中握有的就不再是數(shù)據(jù)點的集合，而是曲面上的各種聯(lián)系、有趣的循環(huán)、折疊以及彎曲。這將為你繪制出一幅探索這個曲面的地圖。

這些方法已經(jīng)產(chǎn)生了一些有趣有用的結(jié)果，不過，我們還需要更多技術(shù)。應(yīng)用數(shù)學(xué)家還有很多功課要做。面對挑戰(zhàn)，他們相信，許多「更加純粹」的同事（指純粹數(shù)學(xué)家——譯者注）會保持開放的頭腦，追隨最新動態(tài)，幫助他們發(fā)現(xiàn)與其他已有數(shù)學(xué)分析框架之間的聯(lián)系，甚至建造出新的數(shù)學(xué)框架。